El secreto del Billar está en la Geometría

Si hay un deporte en el que los ángulos juegan un papel fundamental, ese es el billar. De hecho, para los grandes billaristas lo básico para practicarlo con éxito no es tener un buen golpe de muñeca, sino poseer unas nociones básicas de geometría para saber elegir qué golpe dar. Eso sí, no es el único deporte donde juega un papel importante.El estudio de los ángulos ha estado presente en la vida cotidiana del ser humano desde la antigüedad. Por ejemplo, los egipcios ya calculaban con precisión el ángulo de sus pirámides para garantizar la resistencia de sus paredes.
Si nos atenemos a su definición, un ángulo es la región del plano que queda limitada por dos semirrectas que cortan en un mismo punto. Esas dos semirrectas son los lados del ángulo, y el punto común es el vértice. Al prolongar los dos lados del ángulo el plano quedará dividido en cuatro regiones, y en función del espacio que abarque el ángulo diremos que es cóncavo, si abarca tres de las cuatro regiones, o convexo, que abarca sólo una de las cuatro regiones.Por último, también se puede hablar de tres casos en que el ángulo recibe un nombre propio: nulo si la semirrecta generatriz está en la posición inicial; llano si las posiciones inicial y final están en la misma recta; o completo si las posiciones inicial y final de la semirrecta coinciden.

El siguiente enlace es interesantísimo para los amantes del billar conociendo Pitágoras y un poco de Física: www.uam.es/otros/hojavol/hoja15/pita15.html

Los 10 Problemas de Apolonio

Circunferencia tangente a tres rectas:

Como en el caso de una circunferencia tangente a dos rectas, la circunferencia solución se halla en la bisectriz de los ángulos formados por las rectas.
Por ello en los puntos de intersección de las bisectrices de las rectas r, s y t se obtienen las soluciones.
Cabe destacar que la circunferencia inscrita en el triángulo formado por las 3 rectas, también es solución.
El punto intersección de las bisectrices interiores al triángulo se denomina : Incentro; y el punto intersección de las bisectrices exteriores se denomina: Exicentro.

Circunferencia tangente a un punto y a dos rectas:

Como la circunferencia debe ser tangente a las dos rectas, su centro necesariamente se encuentra en la bisectriz del ángulo que forman.
Por ello, hallando el punto P' simétrico de P respecto la bisectriz, podemos reducir el problema a 'Circunferencia tangente a dos puntos y a una recta' (explicado en una publicación anterior: http://agescuadra.blogspot.com/2010/02/circunferencia-tangente-dos-puntos-y_22.html

Circunferencia tangente a dos puntos y a una recta:

La circunferencia solución pasa por A y B, por lo que necesariamente su centro debe encontrarse en la mediatriz del segmento AB.
Nos basamos en la Potencia: PA.PB=PT^2 para toda circunferencia, de forma que hallamos los puntos de tangencia de P (Punto intersección de AB con r) con una circunferencia O de radio cualquiera y centro en la mediatriz de AB.
Centrando en P y con radio hasta los puntos de tangencia, obtenemos las soluciones en la mediatriz tras haber hecho perpendiculares desde aquellos puntos de corte con r.

Circunferencia tangente a una recta y dos circunferencias:

Este problema se resuelve mediante la simplificación del mismo. Primero, debemos transformar el problema en circunferencia tangente a un punto, una recta y una circunferencia, y para ello reducimos los datos iniciales en función del radio de una de las circunferencias. Una vez tenemos el problema nuevo se resuelve mediante una inversión de centro de inversión coincidente con el centro de la circunferencia que se ha reducido a un punto y cpd de radio igual a la tangente desde el centro de inversión a la circunferencia para que sea inversa de si misma.

Circunferencia tangente a un punto y a dos circunferencias:

La resolución de este problema se basa en el principio de inversión. Debemos tomar como centro de inversión el punto dado y como radio de la cpd la tangente a una de las circunferencias para que esta sea inversa de si misma (si el punto se encontrase en el eje radical de las dos circunferencias, entonces las dos serán inversas de si mismas). Una vez invertidas las circunferencias simplemente debemos hallar las tangentes a las circunferencias inversas, las cuales una vez se deshaga la inversión nos darán las cuatro posibles soluciones.

Circunferencia tangente a un punto, una recta y una circunferencia:


La resolución de este problema se basa en el principio de inversión. Obtendremos las posibles soluciones tomando como centro de inversión como coincidente con el punto dado y radio de la cpd la tangente a la circunferencia, haciendo así que la circunferencia sea inversa de si misma. Acto seguido solamente hay que invertir la recta, la cual será una circunferencia, hallando entonces las tangentes a la circunferencia inversa de si misma y a la inversa de la recta obtendremos cuatro rectas, las cuales al deshacer la inversión serán las circunferencias solución.

Circunferencia tangente a tres puntos:


Si la circunferencia tiene que pasar por los tres puntos A, B y C dados, su centro debe coincidir con el circuncentro del triángulo ABC. Basta, por tanto, trazar las mediatrices de dos de los segmentos determinados por los tres puntos. La intersección de las mismas determinará el centro O de la circunferencia buscada.

Circunferencia tangente a tres circunferencias:


Este problema se resuelve mediante dos pasos principales, el primero, la simplificación del problema a circunferencia tangente a un punto y dos circunferencias mediante la reducción del radio de una de ellas, y después por inversiones tomando como centro de inversión el centro de la circunferencia que se haya reducido a un punto y como cpd la tangente a una de las circunferencias desde dicho punto para que la circunferencia sea inversa de si misma.

Circunferencia tangente a dos rectas y una circunferencia:


La resolución de este problema se basa en la simplificación del mismo a otro problema más sencillo, aunque hay varias formas de resolver este problema, en el ejemplo se ha hacho por homotecias. También podría hacerse mediante la reducción del problema a otro más sencillo, como circunferencias tangentes a un punto y dos rectas. Para lo cual solamente es necesario reducir la circunferencia a un punto y hacer lo mismo con las rectas. Una vez simplificado el problema, por el principio de potencia se hallan las posibles soluciones.

Circunferencia tangente a dos puntos y una circunferencia:

La resolución de este problema se basa en el principio de potencia. Se traza la mediatriz del segmento PQ y la recta PQ. Los centros de las circunferencias solución tienen que estar en la mediatriz y la recta PQ será el eje radical de las dos circunferencias solución. Se traza una circunferencia auxiliar que pase por P y Q, y que corte a la circunferencia dada. El eje radical de estas dos circunferencias, junto con el eje radical de las circunferencias solución determinan el centro radical, R, de las tres circunferencias y, por tanto, las tangentes trazadas desde R a la circunferencia dada determinan los puntos de tangencia T1 y T2. Los centros solución, O1 y O2, son las intersecciones de la mediatriz a PQ con las rectas OT1 y OT, respectivamente.

Vida y Obra de Apolonio

¡Muy Buenas!, en nuestra primera entrada al blog hablaremos de Apolonio de Perge.

Como pequeña introducción a su biografía cabe decir que vivió hace bastante tiempo en Grecia: alrededor del 200 AC, conocido como ``El gran Geómetra´´ dedicaba todo su tiempo libre y no libre al estudio de la geometría y de la astronomía.
Sobre geometría estudio basicamente las secciones cónicas, las curvas planas y la cuadratura de sus áreas.

Propuso el problema de hallar las circunferencias tangentes a tres círculos dados y no pudo resistir la tentación de resolverlo el mismo, asi que el problema pasó a llamarse ``El Problema de Apolonio´´.

La mayoría de sus obras se han perdido y no podemos disfrutar de ellas, tan sólo contamos con dos de sus obras: Secciones en una razón dada y Las Cónicas .

Cómo buen hombre avanzado que se precie,los métodos que utiliza Apolonio (uso de rectas como sistemas de referencia) son muy parecidos a los utilizados por Descartes en su Geometría, considerándose una anticipación de la Geometría analítica actual.


Hasta aquí un breve repaso por la biografía y obra de este importante Geómetra, en la siguiente entrada os contaremos acerca de los 10 problemas de Apolonio, en los que explica la resolución de problemas de tangencias.