Geometría aplicada a la dirección de un automóvil.

Para que el funcionamiento del sistema de dirección de un automóvil resulte eficiente y cómodo es necesario que este cumpla una serie de características relacionadas con su geometría.
Las cotas que determinan la geometría en el sistema de dirección son:

- Angulo de salida:
Se conoce como ángulo de salida al ángulo que forman la prolongación del eje del pivote, sobre el que gira la rueda para orientarse, con la prolongación del eje vertical que pasa por el centro de apoyo de la rueda y cuyo vértice coincide en A´. Este ángulo suele estar comprometido entre 5 y 10º, siendo en la mayoría de los vehículos de 6 a 7º.
Ésta disposición está pensada para reducir el esfuerzo realizado sobre el volante para girar la rueda ya que depende directamente de la distancia “d”. Cuanto más pequeña sea esta distancia menor esfuerzo hay que realizar para girar el volante, pero en la práctica no puede ser 0 ya que el volante se volvería muy inestable.
De la inclinación del eje del pivote resultan fuerzas de retroceso, las cuales, después del paso de una curva, hacen volver a las ruedas a la posición en línea recta en sentido de la marcha. Esto es debido a que al orientar la rueda para tomar una curva, como gira sobre el eje de pivote y éste está inclinado. la rueda tiende a hundirse en el suelo, y como no puede hacerlo, es la carrocería la que se levanta, oponiéndose a esto su propio peso, por lo cual, en cuanto se suelte el volante de la dirección, el peso de la carrocería, que tiende a bajar, hará volver la rueda a su posición de marcha en línea recta.
Además el ángulo de salida, minimiza el efecto de las irregularidades de la carretera en el ensamblaje del conjunto de dirección.

(FIGURA 1)

- Angulo de caida:
Se llama ángulo de caída al que forma la prolongación del eje de simetría de la rueda con el vertical que pasa por el centro de apoyo de la rueda.
Esto se consigue dando una cierta inclinación al eje de la mangueta con respecto a la línea horizontal.
Esto tiene la finalidad de desplazar el peso soportado por el sistema hacia el interior de la mangueta para que los cojinetes de las ruedas no sufran en exceso.

(FIGURA 2)

El valor del ángulo de caída suele estar comprendido entre treinta minutos y un grado

- Angulo de avance:
Se conoce como ángulo de avance al ángulo que forma la prolongación del eje del pivote con el eje vertical que pasa por el centro de la rueda y en el mismo sentido de avance. El ángulo de avance tiene especial importancia en los vehículos con tracción trasera (propulsión) lo que hace la dirección más inestable, este problema es corregido mediante el ángulo de avance.
El avance debe ser tal, que cumpla la misión encomendada sin perturbar otras condiciones direccionales. Si este ángulo es grande, el par creado también lo es, haciendo que las ruedas se orienten violentamente. Si el ángulo es pequeño o insuficiente, el par de orientación también lo es, resultando una dirección inestable.
El ángulo de avance suele estar comprendido entre 0 y 4º para vehículos con motor delantero y de 6 a 12º para vehículos con motor trasero.

(FIGURA 3)

- Convergencia:
La convergencia se refiere a la posición que ocupan las dos ruedas respecto al eje longitudinal del vehículo. Este valor se mide en milímetros y es la diferencia de distancia existente entre las partes delanteras y traseras de las llantas a la altura de la mangueta; está entre 1 y 10 mm para vehículos con propulsión y cero a menos 2 mm para vehículos con tracción.
El ángulo de caída y el de salida hace que la rueda esté inclinada respecto al terreno y que al rodar lo haga sobre la generatriz de un "cono" lo que implica que las ruedas tienden a abrirse. Para corregir esto se cierran las ruedas por su parte delantera, con lo que adelanta el vértice del cono en el sentido de la marcha.

(FIGURA 4)

Boomerang

Estuvimos comentando el nuevo boomerang de un amigo, y se nos ocurrió que podía ser interesante comentar su geometría, investigando un poco no encontramos demasiado sobre ello, pero hallamos un par de enlaces sobre la aerodinámica y el perfil que tienen, parecido al de las aeronaves.

En el siguiente video muestran como se hacen : "How it's made"(Empieza en el 0:35)
http://www.youtube.com/watch?v=IFWD3fzwUZ4&feature=player_embedded#!



Otros ángulos, medidas, aerodinámica :
http://www.researchsupporttechnologies.com/boomerang_site/Boomerang_aerodynamics6.htm

¿ Porqué regresa un Boomerang?
"Durante el vuelo el bumerán gira rápidamente sobre sí mismo unas 10 revoluciones por segundo gracias a la disposición de sus brazos en forma de hélice, y los perfiles de los brazos —más gruesos en la parte delantera que en la trasera— crean el mismo efecto de sustentación en las alas que hace que los aviones vuelen. "
http://www.taringa.net/posts/info/2971972/%C2%BFPorqu%C3%A9-regresa-un-Boomerang.html


Pd. Uno de los enlaces y el video están en inglés, pero es fácil de entender ;)

Esquela Línea de Tierra

Doña Línea de Tierra

Falleció en Madrid

El primer día de Expresión Gráfica, asesinada vilmente por los profesores de dicha asignatura.
Habiendo recibido los santos sacramentos (cristianos, musulmanes y judíos), 10 salvas por el cuerpo de Marines de los EE.UU. y unas palmaditas en la espalda.

D.E.P.

Sus adeptos, todos aquellos que somos incapaces de ver el diédrico sin ella, todos aquellos que ya no encontramos donde están las trazas, todos los que no sabemos determinar un plano sin su ayuda, todos los que lo de “cotas relativas” no lo acabamos de entender muy bien, todos los que pensamos que todavía hay esperanza y todos los que pensamos que ya todo está perdido:

Rogamos una oración, una fiesta, un puente de 5 días, que se acorten las clases, que nos inviten en la cafetería (por pedir que no quede…) por su alma.

La misa se celebrará en la santísima sede de la cafetería de Aeronáuticos mañana durante todo el día y a continuación incineraremos sus restos (todos los apuntes de Bachillerato) y serán esparcidos desde el 6º piso de la escuela técnica.

Los más adeptos pueden estar abajo en el momento de la “liberación” e impregnarse de su esencia.

Inversiones

Bueno, en esta entrada me gustaría compartir con vosotros mis traumas de bachillerato, en concreto en el estudio de las inversiones. Mi profesor de dibujo técnico se inventó (aunque en realidad nunca le puso música) “el rap de la inversión”. Os explico: consistía simple y llanamente en aprenderse de memoria y recitado como se invertía cada elemento. Según él si lo decías con “ritmillo” y agitando el brazo en el aire se parecía mucho a un rap…Bueno en su defensa debo aclarar también que es un fraile educado en la “vieja escuela”, lo que también significaba que si no hacías una tangencia limpia la colleja te caía seguro. Pero bueno, lo dicho, espero que os venga bien el “rap” como chuleta para aprenderos las inversiones, y si alguien se anima, que le ponga música.

Rap de la inversión:

El inverso de un punto que esta dentro de la circunferencia (CPD) es otro punto que esta fuera de la circunferencia.
El inverso de un punto que esta fuera de la circunferencia (CPD) es otro punto que esta dentro de la circunferencia.
El inverso de una recta que si pasa por el centro es ella misma.
El inverso de una recta que no pasa por el centro es una circunferencia que si pasa por el centro.
El inverso de una circunferencia que si pasa por el centro es una recta que no pasa por el centro.
El inverso de una circunferencia que no pasa por el centro es otra circunferencia que no pasa por el centro.
(El centro que se cita es el de la circunferencia de puntos dobles o CPD, os pongo además en negrita las palabras importantes para que no os equivoquéis)

El secreto del Billar está en la Geometría

Si hay un deporte en el que los ángulos juegan un papel fundamental, ese es el billar. De hecho, para los grandes billaristas lo básico para practicarlo con éxito no es tener un buen golpe de muñeca, sino poseer unas nociones básicas de geometría para saber elegir qué golpe dar. Eso sí, no es el único deporte donde juega un papel importante.El estudio de los ángulos ha estado presente en la vida cotidiana del ser humano desde la antigüedad. Por ejemplo, los egipcios ya calculaban con precisión el ángulo de sus pirámides para garantizar la resistencia de sus paredes.
Si nos atenemos a su definición, un ángulo es la región del plano que queda limitada por dos semirrectas que cortan en un mismo punto. Esas dos semirrectas son los lados del ángulo, y el punto común es el vértice. Al prolongar los dos lados del ángulo el plano quedará dividido en cuatro regiones, y en función del espacio que abarque el ángulo diremos que es cóncavo, si abarca tres de las cuatro regiones, o convexo, que abarca sólo una de las cuatro regiones.Por último, también se puede hablar de tres casos en que el ángulo recibe un nombre propio: nulo si la semirrecta generatriz está en la posición inicial; llano si las posiciones inicial y final están en la misma recta; o completo si las posiciones inicial y final de la semirrecta coinciden.

El siguiente enlace es interesantísimo para los amantes del billar conociendo Pitágoras y un poco de Física: www.uam.es/otros/hojavol/hoja15/pita15.html

Los 10 Problemas de Apolonio

Circunferencia tangente a tres rectas:

Como en el caso de una circunferencia tangente a dos rectas, la circunferencia solución se halla en la bisectriz de los ángulos formados por las rectas.
Por ello en los puntos de intersección de las bisectrices de las rectas r, s y t se obtienen las soluciones.
Cabe destacar que la circunferencia inscrita en el triángulo formado por las 3 rectas, también es solución.
El punto intersección de las bisectrices interiores al triángulo se denomina : Incentro; y el punto intersección de las bisectrices exteriores se denomina: Exicentro.

Circunferencia tangente a un punto y a dos rectas:

Como la circunferencia debe ser tangente a las dos rectas, su centro necesariamente se encuentra en la bisectriz del ángulo que forman.
Por ello, hallando el punto P' simétrico de P respecto la bisectriz, podemos reducir el problema a 'Circunferencia tangente a dos puntos y a una recta' (explicado en una publicación anterior: http://agescuadra.blogspot.com/2010/02/circunferencia-tangente-dos-puntos-y_22.html

Circunferencia tangente a dos puntos y a una recta:

La circunferencia solución pasa por A y B, por lo que necesariamente su centro debe encontrarse en la mediatriz del segmento AB.
Nos basamos en la Potencia: PA.PB=PT^2 para toda circunferencia, de forma que hallamos los puntos de tangencia de P (Punto intersección de AB con r) con una circunferencia O de radio cualquiera y centro en la mediatriz de AB.
Centrando en P y con radio hasta los puntos de tangencia, obtenemos las soluciones en la mediatriz tras haber hecho perpendiculares desde aquellos puntos de corte con r.

Circunferencia tangente a una recta y dos circunferencias:

Este problema se resuelve mediante la simplificación del mismo. Primero, debemos transformar el problema en circunferencia tangente a un punto, una recta y una circunferencia, y para ello reducimos los datos iniciales en función del radio de una de las circunferencias. Una vez tenemos el problema nuevo se resuelve mediante una inversión de centro de inversión coincidente con el centro de la circunferencia que se ha reducido a un punto y cpd de radio igual a la tangente desde el centro de inversión a la circunferencia para que sea inversa de si misma.

Circunferencia tangente a un punto y a dos circunferencias:

La resolución de este problema se basa en el principio de inversión. Debemos tomar como centro de inversión el punto dado y como radio de la cpd la tangente a una de las circunferencias para que esta sea inversa de si misma (si el punto se encontrase en el eje radical de las dos circunferencias, entonces las dos serán inversas de si mismas). Una vez invertidas las circunferencias simplemente debemos hallar las tangentes a las circunferencias inversas, las cuales una vez se deshaga la inversión nos darán las cuatro posibles soluciones.

Circunferencia tangente a un punto, una recta y una circunferencia:


La resolución de este problema se basa en el principio de inversión. Obtendremos las posibles soluciones tomando como centro de inversión como coincidente con el punto dado y radio de la cpd la tangente a la circunferencia, haciendo así que la circunferencia sea inversa de si misma. Acto seguido solamente hay que invertir la recta, la cual será una circunferencia, hallando entonces las tangentes a la circunferencia inversa de si misma y a la inversa de la recta obtendremos cuatro rectas, las cuales al deshacer la inversión serán las circunferencias solución.

Circunferencia tangente a tres puntos:


Si la circunferencia tiene que pasar por los tres puntos A, B y C dados, su centro debe coincidir con el circuncentro del triángulo ABC. Basta, por tanto, trazar las mediatrices de dos de los segmentos determinados por los tres puntos. La intersección de las mismas determinará el centro O de la circunferencia buscada.

Circunferencia tangente a tres circunferencias:


Este problema se resuelve mediante dos pasos principales, el primero, la simplificación del problema a circunferencia tangente a un punto y dos circunferencias mediante la reducción del radio de una de ellas, y después por inversiones tomando como centro de inversión el centro de la circunferencia que se haya reducido a un punto y como cpd la tangente a una de las circunferencias desde dicho punto para que la circunferencia sea inversa de si misma.

Circunferencia tangente a dos rectas y una circunferencia:


La resolución de este problema se basa en la simplificación del mismo a otro problema más sencillo, aunque hay varias formas de resolver este problema, en el ejemplo se ha hacho por homotecias. También podría hacerse mediante la reducción del problema a otro más sencillo, como circunferencias tangentes a un punto y dos rectas. Para lo cual solamente es necesario reducir la circunferencia a un punto y hacer lo mismo con las rectas. Una vez simplificado el problema, por el principio de potencia se hallan las posibles soluciones.

Circunferencia tangente a dos puntos y una circunferencia:

La resolución de este problema se basa en el principio de potencia. Se traza la mediatriz del segmento PQ y la recta PQ. Los centros de las circunferencias solución tienen que estar en la mediatriz y la recta PQ será el eje radical de las dos circunferencias solución. Se traza una circunferencia auxiliar que pase por P y Q, y que corte a la circunferencia dada. El eje radical de estas dos circunferencias, junto con el eje radical de las circunferencias solución determinan el centro radical, R, de las tres circunferencias y, por tanto, las tangentes trazadas desde R a la circunferencia dada determinan los puntos de tangencia T1 y T2. Los centros solución, O1 y O2, son las intersecciones de la mediatriz a PQ con las rectas OT1 y OT, respectivamente.

Vida y Obra de Apolonio

¡Muy Buenas!, en nuestra primera entrada al blog hablaremos de Apolonio de Perge.

Como pequeña introducción a su biografía cabe decir que vivió hace bastante tiempo en Grecia: alrededor del 200 AC, conocido como ``El gran Geómetra´´ dedicaba todo su tiempo libre y no libre al estudio de la geometría y de la astronomía.
Sobre geometría estudio basicamente las secciones cónicas, las curvas planas y la cuadratura de sus áreas.

Propuso el problema de hallar las circunferencias tangentes a tres círculos dados y no pudo resistir la tentación de resolverlo el mismo, asi que el problema pasó a llamarse ``El Problema de Apolonio´´.

La mayoría de sus obras se han perdido y no podemos disfrutar de ellas, tan sólo contamos con dos de sus obras: Secciones en una razón dada y Las Cónicas .

Cómo buen hombre avanzado que se precie,los métodos que utiliza Apolonio (uso de rectas como sistemas de referencia) son muy parecidos a los utilizados por Descartes en su Geometría, considerándose una anticipación de la Geometría analítica actual.


Hasta aquí un breve repaso por la biografía y obra de este importante Geómetra, en la siguiente entrada os contaremos acerca de los 10 problemas de Apolonio, en los que explica la resolución de problemas de tangencias.